Question

1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；

(2)若函数y＝log₂|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值.

Answer 1

(1)设P(x₀，y₀)是y＝f(x)图象上任意一点，

则y₀＝f(x₀).

又P点关于x＝m的对称点为P′，则P′的坐标为

(2m－x₀，y₀).由已知f(m＋x)＝f(m－x)，得

f(2m－x₀)＝f(m＋(m－x₀))

＝f(m－(m－x₀))＝f(x₀)＝y₀.即

P′(2m－x₀，y₀)在y＝f(x)的图象上.

∴y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称.

(2)对定义域内的任意x，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立.

∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，

即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立.

又∵a≠0，∴2a－1＝0，得 a＝.

【方法技巧】函数对称问题解题技巧

(1)证明函数图象的对称性，只需证明其图象上的任意一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图象上即可.

(2)①若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，

则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

②若f(a＋x)＝－f(a－x)，x∈R恒成立，

则y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称.