Question

在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，已知a₅=-3，S₇=-14．数列{b_n}满足b_n+1-2b_n=0，b₂+b₄=20．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

an

bn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）求出数列{a_n}的首项与公差，即可求出通项公式，判断{b_n}是等比数列，然后求解通项公式；
（Ⅱ）通过c_n=

an

bn

，得到通项公式，利用错位相减法直接求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则

a1+4d=-3 7a1+21d=-14

解得

a1=1 d=-1

∴a_n=1-（n-1）=2-n…3分
又∵b_n+1-2b_n=0，∴数列{b_n}是公比为2的等比数列．
由b₂+b₄=2b₁+8b₁=20得：b₁=2，
∴bn=2•2n-1=2n…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）cn=

2-n

2n

，∴Tn=

1

21

+

0

22

+

-1

23

+…+

3-n

2n-1

+

2-n

2n

①，

1

2

Tn=

1

22

+

0

23

+

-1

24

+… +

3-n

2n

+

4-n

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

-(

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

)-

2-n

2n+1

…9分
∴Tn=1-(

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

)+

n-2

2n

=1-(1-

1

2n-1

)+

n-2

2n

=

n

2n

…12分．

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式、数列求和等知识，考查学生运算能力、推理能力、分析问题的能力，中等题．