Question

如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB₁=

2

，M是线段B₁D₁的中点．
（1）求证：BM∥平面D₁AC；
（2）求三棱锥D₁-AB₁C的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由四边形D₁OBM是平行四边形得D₁O∥BM，由线面平行的判定得到BM∥平面D₁AC
（Ⅱ）由OB₁⊥D₁O，AC⊥D₁O，得到D₁O⊥平面AB₁C，确定D₁O为三棱锥D₁-AB₁C的高，同时确定△AB₁C为底．

解答：解：（Ⅰ）连接D₁O，如图，
∵O、M分别是BD、B₁D₁的中点，BD₁D₁B是矩形，
∴四边形D₁OBM是平行四边形，
∴D₁O∥BM．（2分）
∵D₁O?平面D₁AC，BM?平面D₁AC，∴BM∥平面D₁AC．（4分）

（Ⅱ）连接OB₁，∵正方形ABCD的边长为2，BB1=

2

，
∴B1D1=2

2

，OB₁=2，D₁O=2，
则OB₁²+D₁O²=B₁D₁²，∴OB₁⊥D₁O．（6分）
又∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC⊥BD，AC⊥D₁D，且BD∩D₁D=D，
∴AC⊥平面BDD₁B₁，又D₁O?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥D₁O，又AC∩OB₁=O，（10分）
∴D₁O⊥平面AB₁C，即D₁O为三棱锥D₁-AB₁C的高．（12分）
∵S△AB1C=

1

2

•AC•OB1=

1

2

×2

2

×2=2

2

，D₁O=2
∴VD1-AB1C=

1

3

•S△AB1C•D1O=

1

3

×2

2

×2=

4

3

2

．14（5分）

点评：本题主要考查平面图形中的线线关系，培养学生平面与空间的转化能力，熟练应用线面平行和线面垂直的判定定理．