Question

设x、y均为正实数，且，以点（x，y）为圆心，R=xy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为________．

Answer 1

（x-4）²+（y-4）²=256
分析：由已知的关于x与y的等式，用y表示出x，将表示出的x代入xy中，设z=y-1，用z表示出y，代入表示出的xy中，整理后利用基本不等式得到xy的最小值，以及此时z的值，进而确定出此时x与y的值，确定出所求圆的圆心与半径，写出所求圆的标准方程即可．
解答：∵+=1，
∴x=，令z=y-1，则y=z+1，
∴xy====z++10≥6+10=16，
当且仅当z=，即z=3时取等号，
此时y=4，x=4，半径xy=16，
则此时所求圆的方程为（x-4）²+（y-4）²=256．
故答案为：（x-4）²+（y-4）²=256
点评：此题考查了圆的标准方程，以及基本不等式的运用，利用了换元的数学思想，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．