Question

14．已知函数f（x）=sin²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx（ω＞0），f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{4}$．
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{4}$）的值；
（Ⅱ）将f（x）的图象上所有点向左平移m（m＞0）个长度单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心为（$\frac{π}{6}$，0），当m取得最小值时，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），由题意可求周期T=$\frac{π}{2}$，由周期公式可求ω，从而可得函数解析式，进而得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求g（x）=2sin（4x+4m-$\frac{π}{6}$），由题意可得4×$\frac{π}{6}$+4m-$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z），可得：m=$\frac{kπ}{4}$-$\frac{π}{8}$，可求m的最小值，由2k$π-\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的单调递增区间．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由题意可得：f（x）=sin²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx
=-（cos²ωx-sin²ωx）+$\sqrt{3}$sin2ωx
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx
=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）
∵f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{4}$．
∴周期T=$\frac{π}{2}$，由$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，可得ω=2．
∴f（x）=2sin（4x-$\frac{π}{6}$），
∴f（$\frac{π}{4}$）=2sin（4×$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{5π}{6}$=1…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（4x-$\frac{π}{6}$），则g（x）=2sin（4x+4m-$\frac{π}{6}$），
∵（$\frac{π}{6}$，0）为y=g（x）图象的一个对称中心，
∴2sin（4×$\frac{π}{6}$+4m-$\frac{π}{6}$）=0，解得：4×$\frac{π}{6}$+4m-$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z），可得：m=$\frac{kπ}{4}$-$\frac{π}{8}$，
当k=1时，m取得最小值$\frac{π}{8}$…10分本题
此时g（x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
由2k$π-\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得g（x）的单调递增区间为：[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{5π}{24}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$]，k∈Z…12分

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．