Question

（本小题12分）设点，点A在y轴上移动，点B在x轴正半轴（包括原点）上移动，点M在AB连线上，且满足，．

（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）设轨迹C的焦点为F，准线为l，自M引的垂线，垂足为N，设点使四边形PFMN是菱形，试求实数a；

（Ⅲ）如果点A的坐标为，，其中＞，相应线段AM的垂直平分线交x轴于．设数列的前n项和为，证明：当n≥2时，为定值．

Answer 1

（Ⅰ）  （Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）设点，≥0)，，依题设得

，

，

即，化简得为点M的轨迹方程．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，．

设，则．由PFMN是菱形及

抛物线的定义可得PFMN是平行四边形，

∴，即，

代入抛物线方程中得，即，

∴．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知．

又由（Ⅰ）可知，代入抛物线方程中可得，∴．

又由，

化简得，

∴，

于是，

从而为定值．