Question

如图，四棱锥P-A BCD中，底面ABCD为菱形，BD⊥面PAC，A C=10，PA=6，cos∠PCA=，M是PC的中点．
（Ⅰ）证明PC⊥平面BMD；
（Ⅱ）若三棱锥M-BCD的体积为14，求菱形ABCD的边长．

Answer 1

解：（I）∵BD⊥面PAC，PC?面PAC，
∴PC⊥BD，
△PAC中，AC=10，PA=6，cos∠PCA=，
∴PA²=PC²+AC²-2PC•ACcos∠PCA，
∴PC=8，
连结MO，∵M是PC的中点，O是AC的中点，
∴PA∥MO，∴PC⊥MO，又∵BD∩MO=O，
∴PC⊥平面BMD；
（II）由题意知：三棱锥M-BCD的体积为14，
即V_M-BCD=V_C-MBD=S_△MBD×CM=BD•MO•CM=14，
∵CM=PC=4，MO=PA=3，
∴BD=7，
∴菱形ABCD的边长AB==．
分析：（I）先根据线面垂直的性质证明PC⊥BD，再在△PAC中利用余弦定理求出PC的长，从而证出PA∥MO，进一步得PC⊥MO，最后根据线面垂直的判定定理可得PC⊥平面BMD；
（II）由题意知，将三棱锥M-BCD的体积转换成三棱锥C-BMD的体积，再利用棱锥的体积公式列出等式求出菱形ABCD的对角线的长，从而得出菱形ABCD的边长．
点评：本题考查证明线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、性质的应用，棱锥的体积等，考查空间想象能力，属于中档题．