Question

A、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB、DE、OC．若AD=2，AE=1，求CD的长．
B．运用旋转矩阵，求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程．
C．已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值．
D．证明不等式：

1

1

+

1

1×2

+

1

1×2×3

+L+

1

1×2×3×L×n

＜2．

Answer 1

分析：选A，根据切割线定理可知AD²=AE•AB，AB=4，EB=3，利用△ADE∽△ACO，可求CD的长．
选B，先写成旋转矩阵，再得出旋转前后坐标之间的关系，代入已知方程，即可得答案．
选C，两边同乘以ρ，利用公式可得直角坐标方程，进而可求点线距离的最值；
选D，将坐标的分母缩小，进而利用等比数列的求和公式，从而得证．

解答：A．解：根据切割线定理可知AD²=AE•AB，
∵AD=2，AE=1
∴AB=4，EB=3，
∵AB是圆的直径
∴DE⊥DB
∵DE⊥OC
∴DE∥OC
∴△ADE∽△ACO，
∴CD=3
B．设直线2x+y-1=0上任意一点（x₀，y₀）旋转变换后（x₀′，y₀′）
∵逆时针旋转45°
∴旋转矩阵为

cos45° -sin45° sin45° cos45°

∴

cos45° -sin45° sin45° cos45°

x0 y0

=

x0′ y0′

∴

x0= 2 2 x0′+ 2 2 y0′ y0=- 2 2 x0′+ 2 y0′ 2

∴直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程是

2

x+

2

y-

2

2

x+

2

2

y-1=0
C．将极坐标方程转化成直角坐标方程：
ρ=3cosθ，两边同乘以ρ，即得：x²+y²=3x，
∴圆的方程为（x-

3

2

）²+y²=

9

4

，
又ρcosθ=1即x=1，
∴直线与圆相交
∴所求最大值为2，最小值为0．
D．证明：

1

1

+

1

1×2

+

1

1×2×3

+L+

1

1×2×3×L×n

＜1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

=1+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=2-

1

2 n-1

＜2，
从而得证．

点评：本题是选做题，难度相等，综合考查学生对系列4的掌握程度，综合性强．