Question

（2008•黄冈模拟）直线y=2x+m和圆x²+y²=1交于点A、B，以x轴的正方向为始边，OA为终边（O是坐标原点）的角为α，OB为终边的角为β，那么sin（α+β）是

-

4

5

．

Answer 1

分析：把直线方程和圆的方程联立后，分别消去x和y得到关于y和x的方程，利用根与系数关系得到α，β的余弦和正弦的积，然后利用和角的三角函数求值．

解答：解：联立

y=2x+m x2+y2=1

，消元得：5x²+4mx+m²-1=0，5y²-2my+m²-4=0，
于是x₁x₂=cosαcosβ=

m2-1

5

，y₁y₂=sinαsinβ=

m2-4

5

．
所以cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

m2-1

5

-

m2-4

5

=

3

5

，
由题意可知π＜α+β＜2π．
从而sin（α+β）=-

1-cos2(α+β)

=-

1-( 3 5 )2

=-

4

5

．
故答案为-

4

5

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了两脚和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是中档题．