Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=

n+2

n

S_n．求证：
（1）数列{

Sn

n

}成等比；
（2）S_n+1=4a_n．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=

n+2

n

S_n，知S_n-S_n-1=

nan+1

n+2

-

(n-1)an

n+1

，从而

2an

n+1

=

an+1

n+2

，进而

2Sn-1

n-1

=

Sn

n

，（n≥2），由此能证明{

Sn

n

}是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可知S_n=n•2^n-1，a_n=（n+1）•2^n-2．由此能证明S_n+1=（n+1）•2ⁿ=4a_n．

解答： 证明：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=

n+2

n

S_n，
∴S_n=

nan+1

n+2

，S_n-1=

(n-1)an

n+1

，n≥2
∴a_n=S_n-S_n-1=

nan+1

n+2

-

(n-1)an

n+1

，
即2n×

an

n+1

=

nan+1

n+2

，
∵n≠0，∴

2an

n+1

=

an+1

n+2

，
∴

2Sn-1

n-1

=

Sn

n

，（n≥2）
即

Sn

n

：

Sn-1

n-1

=2，
n=1时，

S1

1

=

a1

1

=1，
∴{

Sn

n

}是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）∵{

Sn

n

}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴

Sn

n

=2^n-1，∴S_n=n•2^n-1，
∴a_n+1=

n+2

n

S_n=n•2n-1×

n+2

n

=（n+2）•2^n-1，
∴a_n=（n+1）•2^n-2．
∴S_n+1=（n+1）•2ⁿ=4a_n．

点评：本题考查等比数列的证明，考查S_n+1=4a_n的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用，是中档题．