Question

3．已知函数f（x）=$lo{g}_{2}[-a{x}^{2}+（a+1）x-1]$（a≠1）的定义域为集合A．
（1）若a=-1，求函数f（x）的零点；
（2）根据a的不同取值，求出集合A．

Answer 1

分析 （1）a=-1，则函数f（x）=$lo{g}_{2}（{x}^{2}-1）$，令f（x）=0，可得函数f（x）的零点；
（2）对a值进行分类讨论，结论一次函数和二次函数的图象和性质，可得不同情况下集合A．

解答 解：（1）a=-1，则函数f（x）=$lo{g}_{2}（{x}^{2}-1）$，
由f（x）=$lo{g}_{2}（{x}^{2}-1）$=0得：x²-1=1，解得：x=$±\sqrt{2}$，
故函数f（x）的零点为-$\sqrt{2}$和$\sqrt{2}$；
（2）若a=0，则函数f（x）=log₂（x-1），由x-1＞0得：x＞1，故A=（1，+∞），
若a≠0，解-ax²+（a+1）x-1=0得：x=1，或x=$\frac{1}{a}$，
若a＜0，则由-ax²+（a+1）x-1＞0得：x＜$\frac{1}{a}$，或x＞1，故A=（-∞，$\frac{1}{a}$）∪（1，+∞），
若0＜a＜1，则由-ax²+（a+1）x-1＞0得：1＜x＜$\frac{1}{a}$，故A=（1，$\frac{1}{a}$），
若a＞1，则由-ax²+（a+1）x-1＞0得：$\frac{1}{a}$＜x＜1，故A=（$\frac{1}{a}$，1）．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．