Question

已知椭圆过点，长轴长为，过点C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段AB中点的横坐标是，求直线l的斜率；
（3）在x轴上是否存在点M，使是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵椭圆长轴长为2，∴2a=2，∴a=
又∵椭圆过点（-，1），代入椭圆方程得=1，∴b²=
∴椭圆方程为=1，
即x²+3y²=5…（3分）
（2）∵直线l过点C（-1，0）且斜率为k，
设直线方程为y=k（x+1）
由-5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵线段AB中点的横坐标是-，
则x₁+x₂=2×（-）=-1，
即x₁+x₂=．…（7分）
（3）假设在x轴上存在点M（m，0），
使是与k无关的常数，
由-5=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=，…（9分）
∵）
∴
=
=
=
=是与k无关的常数，设常数为t，
则=t…（12分）
整理得（3m²+6m-1-3t）k²+m²-t=0对任意的k恒成立∴，解得m=
即在x轴上存在点M（，0），
使是与k无关的常数．…（14分）
分析：（1）由椭圆长轴长为2，知a=，再由椭圆过点（-，1），求得b²=，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线方程为y=k（x+1）由-5=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由线段AB中点的横坐标是-，能求出直线l的斜率．
（3）假设在x轴上存在点M（m，0），使是与k无关的常数，由-5=0，再由韦达定理和向量的数量积公式能推导出在x轴上存在点M（，0），使是与k无关的常数．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．