Question

已知α、β都是锐角，且

sinβ

sinα

=cos（α+β）．
（1）求证：tanβ=

tanα

1+2tan2α

；
（2）当tanβ取最大值时，求tan（α+β）的值．

Answer 1

证明：∵tanβ=

sinβ

cosβ

=

sinαcos(α+β)

cosβ

=

sinα(cosαcosβ-sinαsinβ)

cosβ

=sinαcosα-sin²αtanβ
∴（1+sin²α）tanβ=sinαcosα
∴tanβ=

sinαcosα

1+sin2α

=

tanα

1+sin2α cos2α

=

tanα

cos2α+2sin2α cos2α

=

tanα

1+2tan2α

（2）∵tanα＞0，tanβ＞0
∴tanβ=

1

1 tanα +2tanα

≤

1

2 2

当且仅当

1

tanα

=2tanα，即tanα=

2

2

时，
tanβ_max=

2 2

1+2× 1 2

=

2

4

∴tan（α+β）=

2 2 + 2 4

1- 2 2 × 2 4

=

3 2

4

×

4

3

=

2