Question

6．已知直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2，且直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）若m=2，求直线l与曲线C两交点的极坐标；
（2）若$|AB|≤2\sqrt{3}$，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）m=2时 直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$的普通方程为：x-y=2，利用互化公式可得极坐标方程．与ρ=2联立得cosθ-sinθ=1．即可得出两交点的极坐标．
（2）直线l的普通方程为x-y-m=0，曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4．由题意直线l与曲线C交于两点以及$|AB|≤2\sqrt{3}$可知：圆C的圆心到直线l的距离1≤d＜2，再利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：（1）m=2时   直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$的普通方程为：x-y=2，
可得极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=2，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{ρ=2}\\{ρcosθ-ρsinθ=2}\end{array}}\right.$  得cosθ-sinθ=1．
∴cosθ=1，sinθ=0；或cosθ=0，sinθ=-1，
∴两交点的极坐标为 （2，0），$（2，\frac{3π}{2}）$．
（2）直线l的普通方程为x-y-m=0，曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4．
由题意直线l与曲线C交于两点以及$|AB|≤2\sqrt{3}$可知：
圆C的圆心到直线l的距离1≤d＜2，
∴$1≤\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}＜2$，即知实数m的取值范围是$（-2\sqrt{2}，-\sqrt{2}]$∪$[\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、弦长公式、三角函数的求值、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．