Question

如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上．当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB的斜率为定值．这个定值为

-1

．

Answer 1

分析：设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB，则可分别表示k_PA和k_PB，根据倾斜角互补可知k_PA=-k_PB，进而求得y₁+y₂的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．

解答：解：设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB，
则k_PA=

y1-2

x1-1

（x₁≠1），k_PB=

y2-2

x2-1

（x₂≠1），
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
∴k_PA=-k_PB，
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线上，得y₁²=4x₁（1）
y₂²=4x₂（2），
∴

y1-2

y12 4 -1

=-

y2-2

y22 4 -1

，
∴y₁+2=-（y₂+2）
∴y₁+y₂=-4
由（1）-（2）得直线AB的斜率

y2-y1

x2-x1

=

4

y1+y2

=-1．
故答案为：-1．

点评：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，属于中档题．