Question

下列叙述正确的是（　　）
（1）a²+b²+c²≥ab+bc+ca
（2）（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²
（3）当x＞0且x≠1时，lgx+

1

lgx

≥2
（4）函数f（x）=

sin2x+2

+

4

sin2x+2

，（x∈R）的最小值为4．

A．（1）（3）

B．（1）（2）（3）

C．（1）（2）

D．（1）（3）（4）

Answer 1

分析：（1）a²+b²+c²≥ab+bc+ca，可以用配方的方法判断真假；
（2）（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，可用作差法判断真假；
（3）当x＞0且x≠1时，lgx+

1

lgx

≥2，利用基本不等式判断真假；
（4）函数f（x）=

sin2x+2

+

4

sin2x+2

，（x∈R）的最小值为4，利用基本不等式判断真假．

解答：解：（1）a²+b²+c²≥ab+bc+ca，此命题正确，因为a²+b²+c²-（ab+bc+ca）=

1

2

[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0，故正确；
（2）（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，此命题正确，因为（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=（ad-bc）²≥0，故命题正确；
（3）当x＞0且x≠1时，lgx+

1

lgx

≥2，由于x＞0时，lgx的值可能为负，故此命题不正确；
（4）函数f（x）=

sin2x+2

+

4

sin2x+2

，（x∈R）的最小值为4，由于利用基本不等式求此题的最值时，等号成立的条件不具备，故取不到最小值4，命题不正确．
综上，只有（1）（2）是正确的
故选C

点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，解答本题，关键是熟练掌握基本不等式求最值的规则：一正，二定，三相等，基本不等式在求最值问题中应用十分广泛，掌握好其成立的条件及能灵活变形后运用基本不等式求最值是正确解题的关键