Question

18．函数f（x）=$\frac{|x|}{\sqrt{1+{x}^{2}}\sqrt{4+{x}^{2}}}$的最大值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 当x≠0时，f（x）=$\frac{|x|}{\sqrt{1+{x}^{2}}\sqrt{4+{x}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}+5}}$，结合基本不等式，可得函数的最大值．

解答 解：当x=0时，f（0）=0，
当x≠0时，f（x）=$\frac{|x|}{\sqrt{1+{x}^{2}}\sqrt{4+{x}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}+5}}$≤$\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{{x}^{2}•\frac{4}{{x}^{2}}}+5}}$=$\frac{1}{3}$，
故函数f（x）=$\frac{|x|}{\sqrt{1+{x}^{2}}\sqrt{4+{x}^{2}}}$的最大值为$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，基本不等式的应用，难度中档．