Question

定义数列A_n：a₁，a₂，…，a_n，（例如n=3时，A₃：a₁，a₂，a₃）满足a₁=a_n=0，且当2≤k≤n（k∈N^*）时，．令S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（1）写出数列A₅的所有可能的情况；
（2）设a_k-a_k-1=c_k-1，求S（A_m）（用m，c₁，…，c_m的代数式来表示）；
（3）求S（A_m）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设，满足条件的数列A₅的所有可能情况有6种．
（2）a_k-a_k-1=c_k-1，由，则c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n，k∈N^*），由此能求出S（A_m）．
（3）当c₁，c₂，…，c_m-1的前项取1，后项取-1时S（A_m）最大，此时，再利用题设条件进行证明即可．
解答：解：（1）由题设，满足条件的数列A₅的所有可能情况有：
①0，1，2，1，0；②0，1，0，1，0；
③0，1，0，-1，0；④0，-1，-2，-1，0；
⑤0，-1，0，1，0；⑥0，-1，0，-1，0．
（2）a_k-a_k-1=c_k-1，由，
则c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n，k∈N^*），
a₂-a₁=c₁，a₃-a₂=c₂，
…a_n-a_n-1=c_n-1，
所以a_n=a₁+c₁+c₂+…+c_n-1．
因为a₁=a_n=0，所以c₁+c₂+…+c_n-1=0，且n为奇数，
c₁，c₂，…，c_n-1是由个1和个-1构成的数列．
所以S（A_m）=c₁+（c₁+c₂）+…+（c₁+c₂+…+c_m-1）
=（m-1）c₁+（m-2）c₂+…+2c_m-2+c_m-1．
（3）当c₁，c₂，…，c_m-1的前项取1，
后项取-1时S（A_m）最大，
此时（14分）
证明如下：
假设c₁，c₂，…，c_m-1的前项中恰有t项取-1，
则c₁，c₂，…，c_m-1的后项中恰有t项取1，
其中，，，i=1，2，…，t．
所以S（A_m）=（m-1）c₁+（m-2）c₂+…+2c_m-2+c_m-1
=
=-2[（m-m₁）+（m-m₂）+…+（m-m_t]+2[（m-n₁）+（m-n₂）+…+（m-n_t）]
=．
所以S（A_m）的最大值为．
点评：本题考查数列的求法，考查数列的前n项和的求法，考查数列的前n项和的最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想、分类讨论思想的合理运用．