Question

已知a_n＝(n∈N^*)，是否存在n的整式q(n)，使得等式a₁＋a₂＋…＋a_n－1＝q(n)(a_n－1)对于大于1的一切自然数n都成立？证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解析：假设存在q(n)，去探索q(n)等于多少． 　　当n＝2时，由a1＝q(2)(a2－1)， 　　即1＝q(2)()， 　　解得q(2)＝2． 　　当n＝3时，由a1＋a2＝q(3)(a3－1)， 　　即1＋()＝q(3)(－1)， 　　解得q(3)＝3． 　　当n＝4时，由a1＋a2＋a3＝q(4)(a4－1)， 　　即1＋()＋()＝q(4)()， 　　解得q(4)＝4． 　　由此猜想q(n)＝n(n≥2，n∈N*)． 　　下面用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N*时，等式a1＋a2＋…＋an－1＝n(an－1)成立． 　　①当n＝2时，由以上验证可知等式成立． 　　②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立， 　　即a1＋a2＋…＋ak－1＝k(ak－1)， 　　则当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak 　　＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k 　　＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1 　　＝(k＋1)()＝(k＋1)(ak+1－1)． 　　∴当n＝k＋1时，等式亦成立． 　　由①②知，对于大于1的自然数n，存在整式q(n)＝n，使得等式a1＋a2＋…＋an－1＝q(n)(an－1)总成立．