Question

定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)＝log₂3且对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).

(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；

(2)若f(k·3^x)＋f(3^x－9^x－2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.

Answer 1

(1)函数f(x)是奇函数，

∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，①

令x＝y＝0，代入①式，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，

即f(0)＝0.

令y＝－x，代入①式，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

又f(0)＝0，

则有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立.

∴f(x)是奇函数.

(2)f(3)＝log₂3＞0，即f(3)＞f(0)，

又f(x)在R上是单调函数，

∴f(x)在R上是增函数，又由(1)，f(x)是奇函数，可知f(k·3^x)＜－f(3^x－9^x－2)＝f(9^x－3^x＋2)，

∴k·3^x＜9^x－3^x＋2对任意x∈R恒成立，

∴k＜3^x＋－1对任意x∈R恒成立，

而3^x＋≥2(当且仅当3^x＝时等号成立)，

∴k＜2－1，

综上所述k＜2－1时f(k·3^x)＋f(3^x－9^x－2)＜0对任意x∈R恒成立.