Question

已知动点A、B分别在x轴、y轴上,且满足|AB|=2,点P在线段AB上,且=t（t是不为0的常数），设点P的轨迹方程为C.

(1)求点P的轨迹方程C;

(2)若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,试求实数t的取值范围;

(3)若t=2,点M、N是C上关于原点对称的两个动点,点Q的坐标为(,3),求△QMN的面积S的最大值.

Answer 1

解：(1)设点A(a,0),B(0,b),P(x,y),∵=t,即(x-a,y)=t(-x,b-y),即

则又∵|AB|=2，即a²+b²=4,∴+=1.

∴点P的轨迹方程C：+=1.

(2)∵曲线C为焦点在x轴上的椭圆，∴＞，得t²＜1-1＜t＜1.

又∵t＞0,∴0＜t＜1.

(3)当t=2时，曲线C的方程为+=1.

设M(x₁,y₁),N(-x₁,-y₁),则|MN|=2.

当x₁≠0时，设直线MN的方程为y= x,则点Q到直线MN的距离h=,

∴△QMN的面积S=·2·=|y₁-3x₁|.

∴S²=|y₁-3x₁|²=9x₁²+y₁²-9x₁y₁.又∵+=1,∴9x₁²+y₁²=4.

∴S²=4-9x₁y₁.而1=+≥-2··=,

则-9x₁y₁≤4,即S²≤8,S≤2.当且仅当=，即x₁=y₁时，“=”成立.

当x₁=0时,|MN|=,△QMN的面积S=××=2.∴S的最大值是2.