Question

求函数y=

x+1

x2-5x+3

的定义域和值域．

Answer 1

分析：由x²-5x+3≠0，可求得其定义域，将函数y=

x+1

x2-5x+3

化为方程yx²-（5y+1）x+3y-1=0，利用判别式法即可求得其值域．

解答：解：由x²-5x+3≠0，
∴x≠

5+ 13

2

且x≠

5- 13

2

，
∴函数y=

x+1

x2-5x+3

的定义域为：{x∈R|x≠

5+ 13

2

且x≠

5- 13

2

}．
∵y=

x+1

x2-5x+3

，
∴yx²-（5y+1）x+3y-1=0，
当y=0时，x=-1，①
当y≠0时，上述方程有解，
∴△=[-（5y+1）]²-4y（3y-1）=13y²+14y+1≥0，
∴y≤-1或y≥-

1

13

（y≠0）②．
由①②可知，函数y=

x+1

x2-5x+3

的值域为：{y|y≤-1或y≥-

1

13

}．

点评：本题考查函数的定义域与值域的求法，着重考查判别式法求函数的值域，考查学生运算与灵活思维的能力，属于中档题．