Question

一次数学考试中共有10道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出了一个答案，已经确定有7道题的答案是正确的，而其余题中，有两道可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因完全不会做只能乱猜，试求出该考生：
（1）得50分的概率；
（2）所得分数ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：（1）由题意总共10道题，有这10 题的特点为已确定其中有7道题的答案是正确的，而其余题中有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道题可以判断出一个选项是错误的，还有一道题因不了解题意只能乱猜．，所以在其余的3道题中，有1道题答对的概率为

1

2

，有1道题答对的概率为

1

3

，还有1道答对的概率为

1

4

，所以利用相互独立事件的概率公式即可求解；
（2）由题意该考生得分的范围为{35，40，45，50}，而每一个结果对应一个事件，事件之间为独立事件，互斥事件，利用概率公式即可得到得分的分布列，代入期望公式即可．

解答：解：（1）得分为50，10道题必须全做对．有2道题答对的概率为

1

3

，还有1道答对的概率为

1

4

，
所以得分为50分的概率为：P=

1

3

•

1

3

•

1

4

=

1

36

．
（2）依题意，该考生得分的范围为{35，40，45，50}．
得分为35分表示只做对了7道题，其余各题都做错，
所以概率为 P1=

2

3

•

2

3

•

3

4

=

1

3

，
得分为40分的概率为：P2=

C

1 2

1

3

×

2

3

×

2

3

×

3

4

+ 

2

3

•

2

3

•

1

4

=

4

9

．
同理求得得分为45分的概率为：P3=

7

36

，
得分为50分的概率为：P4=

1

36

．
所以得分ξ的分布列为：

ξ	35	40	45	50
P	1 3	4 9	7 36	1 36

数学期望Eξ=35×

1

3

+40×

4

9

+45×

7

36

+50×

1

36

=

475

12

点评：此题考查了独立事件，互斥事件的概率公式，随机变量的分布列及其期望，重点考查了学生对于题意的正确理解及准确的计算能力