Question

3．已知函数f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}$在x=0处的切线方程为y=x．
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜$\frac{1}{k+2x-{x}^{2}}$成立，求k的取值范围；
（3）若函数g（x）=lnf（x）-b的两个零点为x₁，x₂，试判断g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的正负，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由切线的方程可得a=1；
（2）由题意可得x²-2x＜k＜$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x在x∈（0，2）恒成立，分别求得左右两边函数的值域，运用恒成立思想，即可得到a的范围；
（3）由题意可得b=lnx-x有两个零点，求得y=lnx-x的导数，求出单调区间和极值、最值，画出图象，可得
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞1，即可得到所求符号．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}}$的导数为f′（x）=$\frac{a（x+1）}{{e}^{x}}$，
在x=0处的切线斜率为$\frac{a}{{e}^{0}}$，
由切线的方程y=x，可得a=1；
（2）由题意可得x²-2x＜k＜$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x在x∈（0，2）恒成立，
由x²-2x=（x-1）²-1∈（-1，0），可得k≥0；
由h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+x²-2x的导数为h′（x）=（x-1）（2+$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$），
可得0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减；
1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）递增．
即有h（x）在x=1处取得最小值，且为e-1，则k＜e-1．
综上可得k的范围是[0，e-1）；
（3）函数g（x）=lnf（x）-b的两个零点为x₁，x₂，
即为b=lnx-x有两个零点，
y=lnx-x的导数为y′=$\frac{1}{x}$-1，
当x＞1时，y′＜0，函数递减；0＜x＜1时，y′＞0，函数递增．
即有x=1处取得最大值，且为-1．
画出y=b和y=lnx-x的图象，
可得$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞1，
g（x）=lnx-x-b的导数为g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-1＜0，
则g′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）为负的．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，以及函数的零点的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．