Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线的焦点，

离心率等于.直线与椭圆C交于两点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 椭圆C的右焦点是否可以为的垂心？若可以,求出直线的方程；

若不可以,请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）设C方程为，则b = 1.

∴椭圆C的方程为                 ………………4分

（Ⅱ）假设存在直线,使得点是的垂心.

易知直线的斜率为，从而直线的斜率为1.

设直线的方程为，              ………………6分

代入椭圆方程并整理，可得.

设，则，.

于是

解之得或.                     ………………10分

当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意.

当时，经检验知和椭圆相交，符合题意. 

所以，当且仅当直线的方程为时, 点是的垂心

【解析】略