Question

设a＞0，函数 f（x）=

ex

x2+a

．
（Ⅰ）求函数 f（x） 的单调区间；
（Ⅱ）当 x=

1

2

时，函数f（x） 取得极值，证明：对于任意的 x₁，x₂∈[

1

2

，

3

2

]；|f（x₁）-f（x₂）|≤

3-e

3

a

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，讨论a的取值范围，判断函数的单调性
（Ⅱ）当x=

1

2

时，函数f（x）取得极值，所以函数的导数在该点的值为零，判断函数的单调性，求函数的极值，求出函数的端点值，进而求出最值．再根据函数两最值之差最大，证明问题

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

ex(x2+a-2x)

(x2+a)2

=

ex[(x-1)2+a-1]

(x2+a)2

（3分）
（1）当a≥1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，即（x-1）²+a-1＞0，
解得x＜1-

1-a

，活x＞1+

1-a

．
因此，函数f（x）在区间（-∞，1-

1-a

）内单调递增，
在区间（1+

1-a

，+∞）内也单调递增．
令f′（x）＜0，即（x-1）²+a-1＜0，解得1-

1-a

＜x＜1+

1-a

．
因此，函数f（x）在区间（1-

1-a

，1+

1-a

）内单调递减．（8分）
（Ⅱ）当x=

1

2

时，函数f（x）取得极值，
即f′（

1

2

）=0，∴（

1

2

）²+a-2×

1

2

=0，∴a=

3

4

由（Ⅰ）f（x）在（-∞，

1

2

）单调递增，
在（1，

3

2

）单调递减，（

3

2

，+∞）单调递增．
f（x）在x=

1

2

时取得极大值f（

1

2

）=

e

；
f（x）在x=

3

2

时取得极小值f（

3

2

）=

e e

3

，
故在[

1

2

，

3

2

]上，f（x）的最大值是f（

1

2

）=

e

，
最小值是f（

3

2

）

e e

3

；
对于任意的x₁，x₂∈[

1

2

，

3

2

]，|f（x₁）-f（x₂）|≤

3-e

3

e

（14分）

点评：该题考查函数的求导，利用导数求函数的极值和最值，判断函数的单调性，求函数的单调区间，再根据函数两最值之差最大证明