Question

（2013•龙泉驿区模拟）已知在等比数列{a_n}中，a₁=1，且a₂是a₁和a₃-1的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足bn=2n-1+an(n∈N*)，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₂是a₁和a₃-1的等差中项，a₁=1，知2a₂=a₁+（a₃-1）=a₃，由此能求出数列{a_n}的通项公式．．
（Ⅱ）由b_n=2n-1+a_n，知Sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+（2n-1+2^n-1）=[1+3+5+…+（2n-1）]+（1+2+2²+…+2^n-1），由等差数列和等比数列的求和公式能求出S_n．

解答：解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₂是a₁和a₃-1的等差中项，a₁=1，
∴2a₂=a₁+（a₃-1）=a₃，
∴q=

a3

a2

=2，
∴an=a1qn-1=2^n-1，（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵b_n=2n-1+a_n，
∴Sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+（2n-1+2^n-1）
=[1+3+5+…+（2n-1）]+（1+2+2²+…+2^n-1）
=

n[1+(2n-1)]

2

+

1×(1-2n)

1-2

=n²+2ⁿ-1．

点评：本题考查等差数列的通项公式的求法和数列求和的应用，解题时要认真审题，仔细解答，熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．