Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足an=2Sn+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=（2n﹣1）an ， 求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1=﹣1．
当n≥2时，an=2Sn+1，an﹣1=2Sn﹣1+1，两式相减得an﹣an﹣1=2an ， 化简得an=﹣an﹣1 ，
所以数列{an}是首项为﹣1，公比为﹣1的等比数列，
可得 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
当n为偶数时，bn﹣1+bn=2， ；
当n为奇数时，n+1为偶数，Tn=Tn+1﹣bn+1=（n+1）﹣（2n+1）=﹣n．
所以数列{bn}的前n项和
【解析】（Ⅰ）当n=1时，a1=2S1+1=2a1+1，解得a1 ． 当n≥2时，an=2Sn+1，an﹣1=2Sn﹣1+1，两式相减得an﹣an﹣1=2an ， 利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，对n分类讨论：当n为偶数时，bn﹣1+bn=2，可得Tn；当n为奇数时，n+1为偶数，Tn=Tn+1﹣bn+1 ．
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．