Question

过点M（0，1）作直线，使它被直线l₁:x-3y+10=0和l₂:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M平分，求此直线方程.

Answer 1

直线方程为x+4y-4=0

方法一 过点M且与x轴垂直的直线是y轴，它和两已知直线的交点分别是和(0,8)，显然不满足中点是点
M（0，1）的条件.
故可设所求直线方程为y=kx+1,与已知两直线l₁,l₂分别交于A、B两点，联立方程组
                                                   ①
                                                      ②
由①解得x_A=,由②解得x_B=.          
∵点M平分线段AB，
∴x_A+x_B=2x_M，即+=0.
解得k=-，故所求直线方程为x+4y-4=0.
方法二 设所求直线与已知直线l₁,l₂分别交于A、B两点.
∵点B在直线l₂:2x+y-8=0上，
故可设B（t,8-2t）,M(0,1)是AB的中点.
由中点坐标公式得A(-t,2t-6).
∵A点在直线l₁:x-3y+10=0上，
∴（-t）-3（2t-6）+10=0，解得t=4.
∴B（4，0），A（-4，2），故所求直线方程为x+4y-4=0.