Question

如图，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为4，C在平面α内，B是直线l上的动点，
（1）线段BC、AD两中点连线的长度是

 

（2）当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为

 

．

Answer 1

考点：平行投影及平行投影作图法

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用勾股定理，即可求出线段BC、AD两中点连线的长度；
（2）确定直线BC与动点O的空间关系，得到最大距离为AD到球心的距离+半径，再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，即可求得结论．

解答： 解：（1）∵正四面体ABCD的棱长为4，
∴线段BC、AD两中点连线的长度是

(2 3 )2-4

=2

2

；   
（2）由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径=2

2

+2．
再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，此时我们注意到AD垂直平面OBC，且平行平面α，故其投影是以AD为底，O到AD 的距离投影，即（2

2

+2）cos45°=2+

2

为高的等腰三角形，其面积=

1

2

×4×（2+

2

）=4+2

2

．
故答案为：2

2

，4+2

2

．

点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．