Question

已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)与圆C：x²＋y²－2x－4y－20＝0．

(1)求证：对任意实数m，l与圆C总有两个交点A、B．

(2)当|AB|取得最小值时，求l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：圆的方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25． 　　(1)常规思路只须证圆心C(1，2)到直线l的距离恒小于半径即可．但注意到直线l的方程可变形为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，可知l恒过定点(3，1)．而(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25， 　　∴点(3，1)在圆内．∴不论m取何实数，直线l与圆恒交于两点A、B． 　　(2)由(1)知，直线l过定点M(3，1)，且与过M和C的直线垂直时，l被圆截得的弦长|AB|最短．∵，r＝5．∴|AB|＝2×．此时，l的斜率，即．∴．代入可得l的方程为2x－y－5＝0．

提示：

(1)欲证l与圆C总有两个交点，只需证圆心到直线l的距离小于半径即可．或只需确定l恒过圆内一点；(2)弦AB最小时，即直线l与弦心距所在直线互相垂直时．