Question

若不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，则实数a的取值范围是

[ 

2

13

 ， 1 ]

．

Answer 1

分析：要使不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，只需求函数y1=

t

t2+9

在t∈（0，2]上的最大值，y2=

t+2

t2

在t∈（0，2]上的最小值．函数y1=

t

t2+9

在t∈（0，2]上的最大值，利用单调性求解，y2=

t+2

t2

在t∈（0，2]上的最小值，利用配方法求解．

解答：解：要使不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，2]上恒成立，只需求函数y1=

t

t2+9

在t∈（0，2]上的最大值，y2=

t+2

t2

在t∈（0，2]上的最小值．
y1=

t

t2+9

=

1

t+ 9 t

，根据函数的单调性可知，函数在t=2时取得最大值为

2

13

y2=

t+2

t2

= 

1

t

+

2

t2

=2(

1

t

+

1

4

)2 -

1

8

，从而函数在t=2时取得最小值为1
所以实数a的取值范围是[

2

13

， 1 ]
故答案为[

2

13

， 1 ]

点评：本题考点是不等式，是一个在不等式恒成立的条件下求的参数的题．主要考查的是函数的最值问题与恒成立结合的综合类问题，在解答的过程当中充分体现了恒成立的思想、二次函数求最值的方法和问题转化的能力．值得同学们体会和反思．