Question

过x轴上一点P向圆C：x²+（y-2）²=1作切线，切点分别为A、B，则△PAB面积的最小值是

 

．

Answer 1

分析：由圆的方程为求得圆心C（0，2）、半径r为：1，设点P（a，0），利用两点间距离公式求得PC=

a2+4

，利用勾股定理求得PA=PB=

a2+3

，解直角三角形求得sin∠APB，利用面积公式求得△PAB面积，利用换元法以及函数的单调性求得△PAB面积的最小值．

解答：解：∵圆的方程为：：x²+（y-2）²=1
∴圆心C（0，2）、半径r为：1
设点P（a，0），则PC=

a2+4

，PA=PB=

a2+3

，
sin∠APB=2

1

a2+4

×

a2+3

a2+4

=

2 a2+3

a2+4

，
∴s△PAB=

1

2

PA•PBsin∠APB=

(a2+3) a2+3

a2+4

，
令

a2+3

=t，t≥

3

，
∴s△PAB=

t3

t2+1

=

1

1 t + 1 t3

在（

3

，+∞）上单调递增，
∴当t=

3

时，△PAB面积有最小值为

3 3

4

．
故答案为：

3 3

4

．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，以及解直角三角形和三角形的面积公式等基础知识，综合性强，要求学生对知识掌握到位，并且你灵活应用，求出三角形的面积后，又转化为函数求最小值问题，体现了转化的思想和函数的思想，也很好的考查了运算能力．此题属难题．