Question

（理）已知以a为首项的数列{a_n}满足：
（1）若0＜a_n≤6，求证：0＜a_n+1≤6；
（2）若a，k∈N﹡，求使a_n+k=a_n对任意正整数n都成立的k与a；
（3）若（m∈N﹡），试求数列{a_n}的前4m+2项的和s_4m+2．

Answer 1

【答案】分析：（1）分当a_n∈（0，3]时和当a_n∈（3，6]时，分别求出a_n+1的范围，得到要证的不等式．
（2）当a=1时，利用通项求出a₂=2，a₃=4，a₄=1，得到满足题意的k=3t，t∈N*．同理可得，a取其他值时k的取值，
（3）通过解不等式判断出项的取值范围，从而判断出项之间的关系，选择合适的求和方法求出和．
解答：解：（1）当a_n∈（0，3]时，则a_n+1=2a_n∈（0，6]，
当a_n∈（3，6]时，则a_n+1=a_n-3∈（0，3]，
故a_n+1∈（0，6]，
所以当0＜a_n≤6时，总有0＜a_n+1≤6．  …（5分）
（2）①当a=1时，a₂=2，a₃=4，a₄=1，故满足题意的k=3t，t∈N*．
同理可得，当a=2或4时，满足题意的k=3t，t∈N*．
当a=3或6时，满足题意的k=2t，t∈N*．
②当a=5时，a₂=2，a₃=4，a₄=1，故满足题意的k不存在．
③当a≥7时，由（1）知，满足题意的k不存在．
综上得：当a=1，2，4时，满足题意的k=3t，t∈N*；
当a=3，6时，满足题意的k=2t，t∈N*．    …（12分）
（3）由m∈N*，可得2^m-1≥1，故，
当1＜k≤m时，．
故a_k=2^k-1a且a_m+1=2^ma．又，-------（15分）
所以．
故S_4m+2=S_4（m+1）-a_4m+3-a_4m+4=4（a₁+a₂+•…+a_m+1）-（2^m-1+2^m）a
=4（1+2+…+2^m）a-3×2^m-1a=4（2^m+1-1）a-3×2^m-1a
=．    …（18分）
点评：解决睡了的求和问题，关键是求出数列的通项，然后根据数列通项的特点选择合适的求和方法．