Question

已知函数

（I）若为的极值点，求实数的值；

（II）若在上为增函数，求实数的取值范围；

(Ⅲ)当时，方程有实根，求实数的最大值。

 

Answer 1

【答案】

（I）（II） (Ⅲ) 实数的最大值为0

【解析】

试题分析：（I）

因为为的极值点，所以，即，

解得。经检验，合题意 

（II）因为函数在上为增函数，所以

在上恒成立。

?当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故 符合题意。         6分                                   

?当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，

故只能，所以在上恒成立。  

令函数，其对称轴为，

因为，所以，

要使在上恒成立，

只要即可，即，

所以。

因为，所以。

综上所述，a的取值范围为。 

（Ⅲ）当时，方程可化为。

问题转化为在上有解，即求函数的值域。

因为函数，令函数， 

则，

所以当时，，从而函数在上为增函数，

当时，，从而函数在上为减函数，

因此。

而，所以，因此当时，b取得最大值0.   

考点：本小题主要考查导数在研究函数性质中的应用，考查学生分类讨论思想的应用.

点评：导数是研究函数性质的有力工具，求极值时要注意验根，因为极值点处的导数值为0，但是导数值为0的点不一定是极值点，涉及到含参数问题，一般离不开分类讨论，分类标准要尽量做到不重不漏.