Question

不等式组

-x+y-2≤0 x+2y-4≤0 y+a≥0

（其中a∈R）表示的平面区域记为D，?P（x，y）∈D，z=x+y的最大值和最小值分别为M、m，已知m=-4．
①求a和M的值；
②在D中随机取一点P（x，y），求z≤

M

2

的概率．

Answer 1

分析：①先根据a的不同取值画出可行域，再利用m=-4求出对应的a和M的值即可．（一定要分类讨论）．
②由①的结论知分M的两种情况分别求出整个区域的面积和对应的点P所在区域的面积，再利用几何概型的计算公式求出z≤

M

2

的概率．

解答：解：①如图，z=x+y的值就是平面上直线z=x+y在y轴上的截距，
而且当P是直线y+a=0与直线-x+y-2=0的交点、直线y+a=0与直线x+2y-4=0的交点时，取得最大（小值）．
解

-x+y-2=0 y+a=0

得

x=-a-2 y=-a

，
解

x+2y-4=0 y+a=0

得

x=2a+4 y=-a

z₁=-2a-2，z₂=a+4．
若z₁＞z₂，即a＜-2，则m=z₂=-4，a=-8，M=z₁=14；
若z₁＜z₂，即a＞-2，则m=z₁=-4，a=1，M=z₂=5．
所以，a=-8、M=14，或a=1、M=5．
②若a=-8、M=14，则z≤

M

2

即x+y≤7．直接计算知区域D的面积S=

1

2

×|[(2a+4)-(-a-2)]×(a+2)|=

3

2

(a+2)2=54，
区域D中x+y≤7部分的面积s=54-

63

4

=

153

4

，
所求概率p=

s

S

=

17

24

．
若a=1、M=5，则z≤

M

2

即x+y≤

5

2

．区域D的面积S=

27

2

，
区域D中x+y≤

5

2

部分的面积s=

27

2

-

15

8

=

93

8

，
所求概率p=

s

S

=

31

36

．

点评：这是含参数的、线性规划与几何概型的综合，解题关键是数形结合，能适时运用坐标的几何意义、点到直线距离或平行直线间的距离．