Question

设a为实数，函数f(x)=x²+|x-a|+1，x∈R，
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的最小值．

Answer 1

解：(1)当a=0时，f(-x)=(-x)²+|-x|+1=f(x)，此时f(x)为偶函数；
当a≠0时，f(a)=a²+1，f(-a)=a²+2|a|+1，
∴f(-a)≠f(a)，f(-a)≠-f(a)，
此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)①当x≤a时，函数f(x)=x²-x+a+1=+a，
若，则函数f(x)在(-∞，a]上单调递减，
∴函数f(x)在(-∞，a]上单调递减，
∴函数f(x)在(-∞，a]上的最小值为f(a)=a²+1；
若，函数f(x)在(-∞，a]上的最小值为，且；
②当x≥a时，函数f(x)=x²+x-a+1=-a+，
若，则函数f(x)在[a，+∞)上最小值为，且；
若，则函数f(x)在[a，+∞)上单调递减，
∴函数f(x)在[a，+∞)上的最小值是f(a)=a²+1；
综上，当a≤时，函数f(x)的最小值是；
当时，函数f(x)的最小值是a²+1；
当时，函数f(x)的最小值是。