Question

17．已知f（x）=2^x+$\frac{m}{{2}^{x}}$（m为常数）为偶函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）求不等式f（log_ax）＞$\frac{5}{2}$（a＞0且a≠1）的解集．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．
（2）根据函数单调性的定义进行证明．
（3）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用对数函数的性质解对数不等式即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2^x+$\frac{m}{{2}^{x}}$（m为常数）为偶函数．
∴f（-1）=f（1），即$\frac{1}{2}$+2m=2+$\frac{m}{2}$，
即$\frac{3}{2}$m=$\frac{3}{2}$，即m=1，
此时f（x）=2^x+2^-x．为偶函数．
（2）证明：设x₁，x₂是[0，+∞）任意的两个数且x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）={2^{x_1}}+{2^{-{x_1}}}-{2^{x_2}}-{2^{-{x_2}}}$
=${2^{x_1}}-{2^{x_2}}+\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}$
=$（{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}）（{1-\frac{1}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}}）$，
∵0≤x₁＜x₂，y=2^x是增函数，
∴${2^{x_2}}＞{2^{x_1}}＞1$；
∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0，1-\frac{1}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}＞0$；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数．
（3）∵f（2）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴不等式f（log_ax）＞$\frac{5}{2}$等价为f（log_ax）＞f（2），
∵函数f（x）是偶函数，
∴不等式等价为f（|log_ax|）＞f（2），
即|log_ax|＞2，
即log_ax＞2或log_ax＜-2，
若a＞1，得x＞a²或0＜x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$，
若0＜a＜1，得0＜x＜a²或x＞$\frac{1}{{a}^{2}}$，
即不等式的解集为当a＞1，{x|x＞a²或0＜x＜$\frac{1}{{a}^{2}}$}
当0＜a＜1，得{x|0＜x＜a²或x＞$\frac{1}{{a}^{2}}$}．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用和证明，利用函数奇偶性的定义和单调性的定义是解决本题的关键．