Question

已知射线l₁：y=4x（x≥0）和点P（6，4），试在l₁上求一点Q使得PQ所在直线l和l₁以及直线y=0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l的方程．

Answer 1

设点Q坐标为（a，4a），PQ与x轴正半轴相交于M点．
由题意可得a＞1，否则不能围成一个三角形．
PQ所在的直线方程为：y-4=

4a-4

a-6

(x-6)，
令y=0，x=

5a

a-1

，
∵a＞1，∴S△OQM=

1

2

×4a×

5a

a-1

，
则S△OQM=

10a2

a-1

=10(

a2-2a+1+2a-2+1

a-1

)=10[(a-1)+

1

a-1

+2]≥10×4，
当且仅当（a-1）²=1取等号．所以a=2时，Q点坐标为（2，8）；
PQ直线方程为：x+y-10=0．