Question

一套三色卡片共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，…，10，另有大、小王各一张，编号均为0．从这些卡片中任取若干张，按如下规则计算分值：每张编号为k的计为2^k分，若它们的分值之和为1921，则称这些卡片为一个“好牌组”．
（Ⅰ）若任取3张卡片，试判断是否存在“好牌组”．
（Ⅱ）若存在“好牌组”，问至少取几张卡片，并求卡片取法数．

Answer 1

（1）由题设知：方程2^x+2^y+2^z=1921，
x，y，z∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
不妨设 x最大，当x=10时，y，z中有一个为10，则2^x+2^y+2^z大于2024，不能成立，
若当x=10时且y，z中有两个取9，则2^x+2^y+2^z大于2024，
若y，z之中有一个取9，另一个小于9，则2^x+2^y+2^z小于1792．
故x=10时，不存在；当x=9时，2^x+2^y+2^z的最大值为1536，
故不存在取三个卡片的好牌组．…（5分）
（2）同（1）分析，取4张卡片，不存在好牌组．…（7分）
由于210+29+28 +27+20=1921，…（9分）
同（1）的分析，且只有这一组，
故至少取5张卡片存在好牌组，
故共有3×3×3×3×2=162种取法．…（13分）