Question

（2012•山西模拟）定义域[-1，1]的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2），且当x∈（0，1）时，f(x)=2x+

x

．   
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先利用奇函数的定义，求f（x）在（-1，0）上的解析式，再利用抽象表达式f（x）=f（x-2），求f（1）和f（-1）的值，即可得f（x）在定义域上的解析式；
（2）先利用导数证明函数f（x）在（0，1）上的单调性，再利用对称性证明函数在（-1，1）上的单调性，最后利用单调性和对称性求函数的值域即可

解答：解：（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），则f（-x）=-2x+

-x

∵f（x）为[-1，1]的奇函数，∴f（-x）=-f（x）'
∴f（x）=2x-

-x

又∵f（0）=-f（0），∴f（0）=0
∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1）
∴f（-1）=0，f（1）=0
∴f（x）=

2x- -x    x∈ (-1，0) 0              x=0，±1 2x+ x    x∈(0，1)

（2）∵x∈（0，1）时，f(x)=2x+

x

．  
∴f′（x）=2+

1

2 x

＞0
∴f（x）在（0，1）上为增函数，f（x）∈（0，3）
∵f（x）为[-1，1]的奇函数，
∴f（x）在（-1，1）上为增函数
∴当x∈（-1，1）时，f（x）∈（-3，3），f（±1）=0
∴函数f（x）的值域为（-3，3）

点评：本题主要考查了函数奇偶性的定义及其运用，利用函数的奇偶性求函数解析式的方法，利用函数的奇偶性判断函数的单调性，利用单调性求函数值域的方法