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    （本小题满分13分）

           已知是二次函数，不等式的解集是（0，5），且在区间[-1，4]上的最大值是12。

       （1）求的解析式；

       （2）是否存在自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

     

    【答案】

    【解析】解：（1）是二次函数，且的解集是（0，5）

           可设

           在区间[-1，4]上的最大值是                    …………3分

           由已知，得……6分

       （2）方程等价于方程

           设，则…………8分

           当是减函数；

           当时，是增函数。                      …………10分

          

           方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间（0，3），

    （4，+∞）内没有实数根，所以存在惟一的自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根。…………13分

     

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