Question

对于实数a和b，定义运算“﹡”：a*b=设f（x）=（2x-1）﹡（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁x₂x₃的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据所给的新定义，写出函数的分段形式的解析式，画出函数的图象，在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m的取值，根据一元二次方程的根与系数之间的关系，写出两个根的积和第三个根，表示出三个根之积，根据导数判断出函数的单调性，求出关于m的函数的值域，得到结果．
解答：解：∵2x-1≤x-1时，有x≤0，
∴根据题意得f（x）=
即f（x）=
画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0，），
当-x²+x=m时，有x₁x₂=m，
当2x²-x=m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到，
∴x₁x₂x₃=m（）=，m∈（0，）
令y=，
则，又在m∈（0，）上是增函数，故有h（m）＞h（0）=1
∴＜0在m∈（0，）上成立，
∴函数y=在这个区间（0，）上是一个减函数，
∴函数的值域是（f（），f（0）），即
故答案为：
点评：本题考查分段函数的图象，考查新定义问题，这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式，本题是一个综合问题，涉及到导数判断函数的单调性，本题是一个中档题目．