Question

若的最大值为________．

Answer 1

分析：法1：令f=x+y，则f²=（x+y）²≤2（x²+y²）=2，所以f≤．由xy==，知≤．由此能求出的最大值．
法2：令x=cosa，y=sina，则 xy=cosa•sina=[（cos（））²-（sin（））²]•2sin（）cos（）=sin（）•[cos（）-sin（）]•（1+cosa+sina），而x+y-1=sina+cosa-1=2sin（）cos（）-2（sin（））²=2sin（）•[cos（）-sin（）]，由此能求出的最大值．
解答：解法1：令f=x+y，
则f²=（x+y）²≤2（x²+y²）=2，
所以f≤．
另一方面xy==，
所以≤．
当x=y=时，取到最大值．
解法2：令x=cosa，y=sina，
则 xy=cosa•sina=[（cos（））²-（sin（））²]•2sin（）cos（）
=2sin（）•[cos（）-sin（）]•[cos（）+sin（）]•cos（）
=sin（）•[cos（）-sin（）]•（1+cosa+sina），
而x+y-1=sina+cosa-1
=2sin（）cos（）-2（sin（））²
=2sin（）•[cos（）-sin（）]，
所以=（1+cosa+sina）
=（1+sin（a+））
≤（1+），
所以当x=y=时，的最大值为．
点评：本题考查函数值域的求法，解题时要认真审题．，仔细挖掘题设中的隐含条件，在解法1国要注意均值不等式的合理运用，在解法2中要注意三角函数的灵活运用．