Question

7．已知△ABC的内角分别为∠A、∠B、∠C．
（1）求证：sin$\frac{B+C}{2}$=cos$\frac{A}{2}$；
（2）若lgsinA=0，且sinB、sinC是关于x的方程4x²-2（$\sqrt{3}$+1）x+k=0的两个根，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理及诱导公式即可证明．
（2）由lgsinA=0，解得：sinA=1，结合A的范围，可得A=$\frac{π}{2}$．由韦达定理及诱导公式可得sinB+cosB=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{4}$，两边平方解得：sin2B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得sinBsinC=$\frac{1}{2}$sin2B=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{k}{4}$，即可解得k的值．

解答 解：（1）证明：左边=sin$\frac{B+C}{2}$=sin（$\frac{π-A}{2}$）=sin（$\frac{π}{2}-\frac{A}{2}$）=cos$\frac{A}{2}$=右边，从而得证；
（2）∵lgsinA=0，解得：sinA=1，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{2}$．
∵sinB、sinC是关于x的方程4x²-2（$\sqrt{3}$+1）x+k=0的两个根，
∴sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{π}{2}$-B）=sinB+cosB=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{4}$，两边平方可得：1+sin2B=$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$，解得：sin2B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinBsinC=sinBsin（$\frac{π}{2}-B$）=sinBcosB=$\frac{1}{2}$sin2B=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{k}{4}$，解得：k=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，同角三角函数关系式及诱导公式的应用，考查了韦达定理，倍角公式的应用及计算能力，属于中档题．