Question

如图，椭圆C：的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称.

（1）若点P的坐标，求m的值；

（2）若椭圆C上存在点M，使得，求m的取值范围.

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

试题分析：

（1）根据m的取值范围可以判断椭圆C的焦点，得到点A的坐标，则根据点与点的中点坐标公式可以用点P,A的坐标计算得到点M的坐标，把M点的坐标带入椭圆即可求的m的值.

（2）从题得A,P关于M对称，则可以设出M点的坐标，得到P点的坐标(中点的坐标公式)，因为OM与OP垂直，则根据向量的内积为0可以得到关于M点坐标的方程，则把该方程与M点满足的椭圆方程联立消纵坐标即可求出m关于M点横坐标的方程，再利用基本不等式就可以求出m的取值范围(注意取得等号条件的验证与m值本身具有正数的范围)

试题解析：

（1）依题意，是线段的中点，因为，

所以点的坐标为． 2分

由点在椭圆上，所以，解得． 4分

（2）设，则，且．① 5分

因为是线段的中点，所以． 7分

因为，所以．② 9分

由①，②消去，整理得． 11分

所以， 13分

当且仅当时，上式等号成立．

所以的取值范围是． 14分

考点：椭圆几何性质椭圆标准方程不等式