Question

已知函数为常数＞0）

  （1）若是函数的一个极值点，求的值；

  （2）求证：当0＜时在上是增函数；

  （3）若对任意的总存在使不等式＞成立，求实数的取值范围。

Answer 1

解：.

_{（1）由已知，得 且，}

_{，，.                ----------------3分}

_{（2）当时，,,}

_{当时，.又，}

_{，故在上是增函数.                 ----------------6分}

_{（3）时，由（2）知，在[1，2]上的最小值为，}

_{于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立.}

_{----------------8分}

_记，（）

_则，

_{当时，2ma—1+2m<0，∴g’(a)<0在区间上递减，}

_此时，，

_{时不可能使恒成立，故必有                 ----------------10分}

_.

_{若，可知在区间上递减，}

_{在此区间上，有，与恒成立矛盾，}

_{故，这时，，在上递增，}

_{恒有，满足题设要求，，即，}

_{所以，实数的取值范围为.                          ----------------14分}