Question

如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，边坡的长为x米、倾角为锐角α．
（1）当α=

π

3

且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，求x的最小正整数值；
（2）当x=2时，试求灌溉渠的横截面面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题意可分别表示出梯形的高和上底长，进而可求得横截面的面积的表达式，把α=

π

3

代入S的解析式，利用二次函数的性质判断其单调性，进而推断x=2和x=3时S的值，求得x的最小正整数值．
（2）把x代入S的解析式中通过对S的函数进行求导，判断S的单调性进而推断出S的最大值．

解答：解：由已知得等腰梯形的高为xsinα，上底长为2+2xcosα，
从而横截面面积S=

1

2

（2+2+2xcosα）•xsinα=x²sinαcosα+2xsinα．
（1）当α=

π

3

时，面积S=

3

4

x2+

3

x是（0，+∞）上的增函数，
当x=2时，S=3

3

＜8；当x=3时，S=

9 3

4

+3

3

＞8．
所以，灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，x的最小正整数值是3．
（2）当x=2时，S=4sinαcosα+4sinα，S'=4cos²α-4sin²α+4cosα
=4（2cos²α+cosα-1）=4（2cosα-1）•（cosα+1），
由S′=0及α是锐角，
得α=

π

3

．当0＜α＜

π

3

时，S′＞0，S是增函数；
当

π

3

＜α＜

π

2

时，S′＜0，S是减函数．所以，当α=

π

3

时，S有最大值3

3

．
综上所述，灌溉渠的横截面面积的最大值是3

3

．

点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型．考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力．