Question

定义在实数集R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数．
（1）试判断并证明f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，由f（x）在（0，+∞）是单调增函数从而有f（-x₁）＞f（-x₂），再由f（x）是偶函数，得到f（x₁）＞f（x₂）由定义得证．
（2）通过f（x）是偶函数，将模型转化为：f（1）＜f（|lgx|），再利用f（x）是（0，+∞）上的单调增函数求解．

解答：解：（1）f（x）在（-∞，0）是单调减函数（2分）
设x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）在（0，+∞）是单调增函数
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
又∵f（x）是偶函数，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，0）是单调减函数（8分）
（2）由f（x）是偶函数，
f（1）＜f（|lgx|）又f（x）是（0，+∞）上的单调增函数
∴|lgx|＞1；（11分）
∴lgx＞1或lgx＜-1
∴x＞10或0＜x＜

1

10

为所求x的取值范围．（14分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合运用，还考查了转化思想，属中档题．