Question

已知甲乙二人射击的命中率分别为

1

2

和

3

4

，现在两人各备3发子弹对同一目标进行射击，射击规则如下：①通过投掷一枚均匀硬币来决定谁先射击；②如果射中，就接着射，如果射不中，就换另一人射；③目标被命中3枪或子弹用光就结束射击（当一人用光，但目标中弹不到3次时，另一人可连续射击，直到目标被命中3次或子弹用光为止）．求：
（1）两人都有机会射击的概率；
（2）恰好用4枪结束射击的概率．

Answer 1

分析：（1）分两种情况讨论，①甲先射击且给乙留下机会，②乙先射击且给甲留下机会，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得每种情况的概率，进而将其相加可得答案；
（2）记“甲射击一次命中”为事件A，“乙射击一次命中”为事件B，则P（A）=

1

2

，P（B）=

3

4

，进而分析可得，恰好用4枪结束射击，甲先射击时包含

.

A

BBB，A

.

A

BB，AA

.

A

B三种情况，乙先射击时包含

.

B

AAA，B

.

B

AA，BB

.

B

A三种情况；由相互独立事件的概率乘法公式计算可得每种情况的概率，进而将其相加可得答案．

解答：解：（1）甲先射击且给乙留下机会的概率为

1

2

×(1-

1

23

)=

7

16

，
乙先射击且给甲留下机会的概率为

1

2

×[1-(

3

4

)3]=

37

128

，
两人都有机会射击的概率为P₁=

7

16

+

37

128

=

93

128

；
（2）记“甲射击一次命中”为事件A，“乙射击一次命中”为事件B，则P（A）=

1

2

，P（B）=

3

4

．
4枪结束射击的概率P₂=

1

2

P(

.

A

BBB+A

.

A

BB+AA

.

A

B)+

1

2

P(

.

B

AAA+B

.

B

AA+BB

.

B

A)
=

1

2

(

1

2

×

33

43

+

1

22

×

32

42

+

1

23

×

3

4

)+

1

2

(

1

4

×

1

23

+

3

4

×

1

4

×

1

22

+

32

42

×

1

4

×

1

2

)
=

19

64

．

点评：本题考查相互独立事件的概率的乘法公式与互斥事件概率的加法公式的运用，注意根据题意，全面分析事件可能的情况．